AULA GRÁTIS:
PROBLEMAS DE EQUACIONAMENTO
PRELIMINARES
Um dos assuntos mais cobrados em concursos são os problemas de equacionamento. Para você se dar bem nesse assunto, além de saber interpretar a linguagem matemática (simbólica), você precisa saber resolver pelo menos uma equação do 1º grau. Normalmente a equação é de fácil resolução, o difícil, às vezes é montar a equação.
LINGUAGEM MATEMÁTICA
Vamos interpretar algumas expressões típicas encontradas nos enunciados dos problemas de equacionamento, através de uma linguagem simbólica:
Dado um número "x", represente:
1) o seu dobro: 2x
2) A sua metade: x/2
3) O triplo do número, mais um: 3x + 1
4) O triplo do número mais um: 3(x + 1)
Observação: Repare que no exemplo 4 a simples falta de uma vírgula diferencia a linguagem apresentada no exemplo 3!
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Vamos apresentar agora o "roteiro" para resolver uma equação do 1º grau, com uma incógnita:
Regras
práticas para resolver equações:
a) Eliminamos os sinais de agregação, se houver.
b) Eliminamos os denominadores, se houver.
c) Devem ficar no primeiro membro os termos que têm incógnita;
d) Ficam no segundo membro os termos que não tem incógnita;
e) Se trocarmos um termo de um membro para outro, troca-se o seu sinal;
f) Reduz-se os termos semelhantes em cada um dos membros;
g) Quando o coeficiente da incógnita for negativo, multiplicamos toda equação por (-1); e
h) O coeficiente da incógnita passa para o outro membro dividindo.
Exemplo 1:
Resolver a equação 2x – 6 = 0
Resolução:
2x – 6 = 0
2x = 6
x = 6 : 2
x = 3 raiz da equação
Exemplo 2:
Resolver a equação 2x – (10 – x) = 4x + 8
Resolução:
2x – (10 – x) = 5x + 8
2x – 10 + x = 5x + 8
- 5x + 2x + x = 8 + 10
- 2x = 18
- 2x = 18 (-1)
2x = - 18
x = - 18 : 2
x = - 9 raiz da equação
QUESTÕES RESOLVIDAS
VAMOS AGORA RESOLVER ALGUMAS QUESTÕES UTILIZANDO AS DICAS ACIMA:
1) (ESAF) Que horas são se o que resta do dia vale 3/5 do que já passou?
Resolução:
a) Linguagem
"Que horas são" ou hora que "já passou": x
"O que resta do dia": 24 - x
b) Montagem da equação:
"o que resta do dia vale 3/5 do que já passou"
c) Resolução propriamente dita:
8x = 120
x = 15
Resposta: 15 horas
2) (TRT/8ª REGIÃO/CESPE) Julgue os itens a seguir:
1. Se a soma de três números ímpares e consecutivos é 51, então a soma dos dois números pares que estão entre esses ímpares é maior que 36.
Resolução:
Três números ímpares e consecutivos: x; x+ 2; x + 4
Soma: x + x+ 2 + x + 4 = 51
Resolvendo a equação:
x + x+ 2 + x + 4 = 51
3x = 51 - 2 - 4
3x = 45
x = 15
Logo os números impares são
15, 17 e 19
soma dos pares que estão entre eles: 16 + 18 =34
Resposta Certa.
2. Se a soma de dois números é igual a 60 e diferença é igual a 6, então esses números são ambos ímpares.
Resolução:
Números:
Primeiro número: x
Segundo número: x + 6 (se 6 é a diferença então esse tem 6 unidades a mais que o primeiro)
soma: x + x + 6 = 60
Resolvendo a equação:
x + x + 6 = 60
2x = 60 - 6
2x = 54
x = 27
valor dos números:
27 e 33 (x + 6)
Resposta:
Como 27 e 33 são ímpares resposta Certa.
3.Considere que certo número seja formado por 3 algarismos cuja a soma é 13. Se o algarismo das dezenas é o dobro do algarismo das centenas e este é igual a quatro vezes o das unidades, então esse número é maior que 500.
Resolução:
Número: CDU (onde C é o algarismo da centena e assim por diante)
soma dos algarismos que formam o número: C + D + U = 13
Vamos chamar o algarismo das centenas (C) de x, assim:
C = x
D = 2x
x = 4U
Se o algarismo da centena é 4 vezes a unidade (x = 4U), então o algarismo das unidades é a quarta parte de x (U = x/4)
Resolvendo a equação:
C + D + U = 13
4x+ 8x + x = 52
13x = 52
x = 4
Assim:
C = 4
D = 2x = 2. 4 = 8
U = x/4 =4/ 4 = 1
Número: CDU = 481
O número é menor que 500, reposta Errada.
4) (ANTT – 2005) No planejamento de um certo setor, o chefe distribuiu as oitenta e duas tarefas do mês por seus três funcionários de modo que Maria ficou com sete tarefas a mais que Josias que, por sua vez, recebeu menos quinze tarefas que Inácio. O produto entre o número de tarefas de Maria e de Inácio é igual a:
(A) 945;
(B) 894;
(C) 732;
(D) 710;
(E) 697.
Dados do problema:
M + J + I = 82
M = J + 7
J = I – 15
Vamos aproveitar o ‘M” isolado na 2.ª equação e isolar o “I” na 3.ª, assim temos:
M = J + 7 e I = J + 15 (Cuidado com o sinal!!!)
Substituindo o valor de M e I na primeira equação, acharemos o valor de “J”:
M + J + I = 82 → (J + 7) + J + (J + 15) = 82 → 3J + 22 = 82 → J = 20
Acharemos agora o valor de M e I:
M = 20 + 7 = 27
I = 20 + 15 = 35
Produto entre Maria e Inácio: 27 X 35 = 945
R: A
5) (AUXLIAR ADMINISTRATIVO- FENIG/ CESGRANRIO/2005) Numa prova de matemática com 20 questões, os candidatos não podem deixar questão em branco. Para compor a nota final serão atribuídos (+2) pontos a cada resposta certa e (–1) ponto a cada resposta errada. Se um candidato obteve 16 pontos nessa prova, quantas questões ele acertou?
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
Questões certas: C
Questões erradas: E
Se para cada questão certa ganha-se 2 pontos, o total de pontos por questões certa é 2C
Se para cada questão errada tira-se 1 ponto, o total de pontos por questões erradas é 1C
Então temos duas equações:
C + E = 20 → SOMA DAS QUESTÕES CERTAS E ERRADAS
2C – 1E = 16 → SALDO DOS PONTOS, APÓS A DIFERENÇA ENTRE CERTAS E ERRADAS
Vamos isolar o E na primeira equação e substituí-lo na segunda, de modo a achar o n.º de questões certas:
C + E = 20 → E = 20 – C
2C – 1E = 16 → 2C – 1(20 – C) = 16 (Cuidado com o sinal!!!)
2C -20 + C = 16
3C = 36
C = 12
R: D
Resolva estes agora:
1) A soma das idades de três irmãos é 31 anos. O maior tinha 4 anos quando nasceu o 2º irmão e este tinha 6 anos quando nasceu o mais novo. Qual é a idade de cada um?
2) A diferença entre dois números é 18. Aumentando-se 8 unidades em cada um deles, o maior torna-se o triplo do menor. Determine os números.
3) (ESAM) A soma de um número com a sua quinta parte é igual ao seu dobro diminuído de 30. O referido número é?
4) (FUVEST) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. Determine o número.
5) (TRT/5ª Região/FCC) O primeiro andar de um prédio vai ser reformado e os funcionários que lá trabalharam serão removidos. Se um terço do total dos funcionários deverão ir para o segundo andar, dois quintos do total para o terceiro andar e os 28 restantes para o quarto andar, o número de funcionários que serão removidos é
a) a) 50 b) 84 c)105 d)120 e) 150
b) R:"c"
d)
6) De dois pontos, A e B, afastados de 280 Km, partem às 9 horas dois automóveis, caminhando um para o outro. O que sai de A desenvolve 40 Km/h e o outro 30 Km/h. A que distância do ponto B se encontrarão e a que horas se dará o encontro? R: 120 Km e 13h
7) De um ponto A sai às 8 horas da manhã um automóvel, percorrendo 30 Km. Duas horas mais tarde, sai do mesmo ponto e no mesmo sentido, outro automóvel, desenvolvendo 50 Km/h. A que distância de A se dará o encontro e a que horas? R: 150 Km e 13h
8) Uma pessoa pagou $470,00 com 11 notas de $10,00 e $50,00. Quantas notas de cada valor a pessoa deu? R.:2 de $10,00 9 de $50,00
9) Uma pessoa possui 2 cavalos e uma sela que vale $15,00. Colocando a sela no 1º cavalo este vale o dobro do 2º. Colocando-a no 2º este vale $30,00 menos do que o 1º. Quanto vale cada cavalo?
R.: $60,00 E $105,00
10) Achar uma fração igual a 7/23 cuja diferença entre os termos seja 192.
R.: 84/276
11) Dividir 95 em duas partes tais que o dobro de uma, aumentado dos 4/11 da outra, seja igual a 100.
R.: 40 e 55
12) A diferença entre dois números é igual a 24. Dividindo-se o maior por 3 e o menor por 7, a soma dos quocientes obtidos é igual a 48. Determinar esses números.
R.: 84 e 108
13) Numa casa existem azulejos brancos e azuis, num total de 1200. Calcular o número de azulejos brancos e azuis, sabendo que o triplo do número de azulejos azuis menos o quíntuplo do de brancos é 400.
R.: 800 azuis e 400 brancos
14) A soma das idades de A e B é 35 anos. Daqui a 5 anos a idade de A será o dobro da de B. Calcular a idade de A e B. R.: 25 e 10
15) (EEAR - 95) A soma das idades de um pai e de um filho é, hoje de 72 anos. Há 12 anos passados, a idade do pai era 7 vezes a idade do filho. Hoje, o quociente das idades é
a) a) 2 b) 3 c) 4 d) 6
b) R.: b
16) (EEAR - 93) A soma de dois números é 93; o quociente do maior pelo menor é 9 e o resto dessa divisão é 3. A soma dos algarismos do maior número vale?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 15
R.: c
17) (POLÍCIA CIVIL/MS - 98) Verificando os preços no mercado, constatei que 2 pêras têm o mesmo preço que 3 maças e que 6 maças equivalem a 8 laranjas. Para que eu não perca nem lucre com a troca, quantas pêras devo trocar por 6 laranjas?
a) a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6
R.: b
Por hoje é só pessoal!
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