I - DIVISIBILIDADE

Um número é divisível por outro quando deixa resto 0. Ex.: 126 : 2 = 63

Obs.: Não existe divisão por 0. Ex.: 5 : 0 = Impossível

ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE QUE FACILITARÃO A RESOLUÇÃO DE OPERAÇÕES ARITMÉTICAS:

Os números divisíveis por 2 são os números pares. Ex.: 2, 8, 100 etc.

Os números divisíveis por 3 são aqueles cuja a soma dos algarismos é divisível por 3. Ex.: 24, 33, 111111.

Os números divisíveis por 5 são aqueles que terminam em 0 e 5. Ex.: 5, 10, 105.

DIVISORES DE UM NÚMERO

Os divisores de um certo número sempre será dado por um conjunto finito.

Ex.: Quais são os divisores de 5, 8, e 24?

R.: D (5) = { 1,5 }; D (8) = {1,2,4,8}; D (24) = {1,2,4,8,3,6,12,24}

NÚMERO DE DIVISORES

Se desejarmos saber a quantidade de divisores de um número, de maneira rápida, utilizamos a seguinte regra:

Ex.: Calcular quantos elementos há no conjunto D (24) .

1º Fatorar 24 :

24 | 2

12 | 2

6 | 2

3 | 3

1

Logo 24 = 2³ . 3

2º Observar os expoentes que aparecem na fatoração e adicionar o número um a cada um deles.

Assim teremos:

expoente do 2: 3, e adicionando 1: 3 + 1 = 4

expoente do 3: 1 , e adicionando 1: 1 + 1 = 2

3º Multiplicar os números obtidos, 4 e 2 , e assim encontrar o número de divisores desejado, 4 . 2 = 8, ou seja, 24 possui 8 divisores D (24) = { 1,2,4,8, 3, 6,12,24 }

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C)

Dados dois ou mais números, não nulos, chama-se máximo divisor comum destes números ao maior de seus divisores.

MÉTODOS PARA CÁLCULO DO M.D.C ( O QUE MAIS INTERESSA PARA CONCURSOS PÚBLICOS)

Método da decomposição em fatores primos

1. Decompõem-se os números dados em seus fatores primos.
2. Tomam-se os fatores comuns, cada um deles com seu menor expoente.
3. O produto desses fatores é o m.d.c procurado.

Ex. calcular o m.d.c entre 90 e 108

90 | 2

45 | 3

15 | 3

5 | 5

1

108 | 2

54 | 2

27 | 3

9 | 3

3 | 3

1

90 = 2 X 3² X 5

108 = 2² X 3³

m.d.c (90,108), fatores comuns de menor expoente,= 2 x 3² = 18

QUESTÕES TÍPICAS:

QT - 1) Considere o número natural n = 2 ^x. 3 ² . Sabe-se que a quantidade dos seus divisores naturais é 15. Qual é o valor de x?

Solução:

Basta somar 1 aos expoentes "x" e "3" , multiplicar os números obtidos e igualar a 15, logo após achar o valor de x:

(x + 1) . (2 + 1) = 15

3x + 3 = 15

3x = 12

x = 12 / 3

x = 4

QT - 2) As medidas tomadas sobre as divisas de um campo de formato triangular são: 504 m, 392 m e 378 m. O proprietário deseja plantar coqueiros nas divisas do campo, de tal modo que as distâncias entre eles, tomadas sobre as divisas, sejam iguais e as maiores possíveis. Calcular quantos coqueiros são necessários ao plantio.

Solução;

A distância é dada pelo MDC (504, 392, 378),

504 = 2³ . 3² . 7²

392 = 2³ . 7²

378 = 2 . 3⁷ 7

MDC (504, 392, 378) = 2 . 7 = 14

Dessa forma, os coqueiros devem ser plantados a cada 14 m. O número de coqueiros é, dado por:

Resposta: 91 coqueiros

QUESTÕES PROPOSTAS:

1) (FUVEST) O número de divisores do número 40 é:

a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 20 R. letra "a"

2) Uma loja de tecido deseja dividir 3 peças de fazenda em partes iguais, de maior tamanho possível, de modo que não haja sobras. Qual o tamanho de uma das partes, se as peças medem 80 m , 75 m e 60 respectivamente? R. 5 metros

3) (EEAR-81) Três rolos de arame farpado têm, respectivamente, 168 m, 264 m e 312 m. Deseja-se cortá-lo em partes de mesmo comprimento, de forma que, cada parte, seja maior possível. Qual o número de partes obtidas e o comprimento, em metros, de parte? R. 31 e 24 m

4) (VUNESP) Um carpinteiro recebeu a incumbência de cortar 40 toras, de 8 metros cada uma, e 60 toras, de 6 metros cada uma, em toras de um mesmo tamanho, sendo este tamanho o maior possível. Nestas condições, quantas toras deverão ser obtidas ao todo pelo carpinteiro?

a) 1800 b) 1360 c) 680 d) 340 e) 200 R. letra "c"

CONJUNTO DOS MÚLTIPLOS

Multiplicando 5, sucessivamente, por 0,1,2,3,4,5..., podemos obter os múltiplos de 5.

0 x 5 = 0

1 x 5 = 5

2 x 5 = 10

3 x 5 = 15

4 x 5 = 20

5 x 5 = 25

...

O conjunto dos múltiplos de 5 indica-se por M (5). Assim:

M (5) = {0,5,10,15,20,25,...}

Concluímos então: Para determinar os múltiplos de um número natural qualquer, basta multiplicarmos esse número, sucessivamente, por 0,1,2,3,4,...

Exemplos;

M (2) = {0,2,6,8,10,...}

M (7) = {0,7,14,21,28,...}

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Dado dois ou mais números, não nulos, chama-se mínimo múltiplo comum destes números o menor de seus múltiplos comuns, excluindo o zero.

Observe:

M (15) = { 0,15,30,45,60,75,90,105,120,...}

M (20) = { 0,20,40,60,80,100,120,...}

• Múltiplos comuns: 0,60,120,180, ...
• Menor múltiplo comum diferente de zero: 60

Assim , dizemos que 60 é o mínimo múltiplo comum 15 e 20.

Indica-se: m. m .c (15,20)

MÉTODOS PARA CÁLCULO DO M.M.C

• Método da decomposição em fatores primos

1. Decompõem-se os números dados em seus fatores primos.
2. Tomam-se os fatores comuns e não comuns, cada um deles com seu maior expoente.
3. O produto desses fatores é o m. m .c procurado.

Ex. calcular o m.m.c entre12 e 50

12 | 2 50 | 2

6 | 2 25 | 5

3 | 3 5 | 5

1 1

12 = 2² X 3

50 = 2 X 5²

fatores comuns e não comuns de MAIOR expoente: 2² X 3 X 5²

MMC (12,50) = 2² X 3 X 5² = 300

• Método da decomposição simultânea

De maneira mais prática, podemos obter o m. m. c de dois ou mais números decompondo-os simultaneamente.

EX: Calcular o m. m. c de 40, 50 e 75.

40,50,75| 2

20,25,75| 2

10,25,75| 2

5,25,75 | 3

5,25,25 | 5

1,5,5 | 5

1, 1,1

13. m. c (40, 50 e 75) = 2³ X 3 x 5² = 600

PROPRIEDADE ENTRE O MDC E MMC

O produto de dois números naturais, diferentes de zero, é igual ao produto do m. d. c pelo m. m. c entre eles. Isto é m. d. c (a, b) X m. m. c (a, b) = a X b.

Exemplo:

Ache o produto de dois números naturais, sabendo-se que o m. m. c é 120 e o m. d. c é 50?

Solução:

m. d. c (a, b) X m. m. c (a, b) = a X b.

50 X 120 = a X b

a X b = 600

QUESTÕES TÍPICOS:

QT - 3) De uma estação urbana partem ônibus de três linhas diferentes, respectivamente, a cada 10, 12 e 18 minutos. Sabendo que às 10:00 horas partiram juntos os ônibus destas três linhas, qual o próximo horário em que partirão juntos novamente?

Solução:

O tempo para a próxima partida é dado pelo mmc (10,12,18)

10. 12 18| 2

5 6 9 | 2

5 3 9 | 3

5 1 3 | 3

5 1 1 | 5

1 1 1

mmc (10,12,18) = 2² . 3² . 5 = 180

Resposta: como 180 min = 3 horas, a próxima partida será às 13:00 horas.

QT - 4) Determinar os três menores múltiplos inteiros e positivos de 18 e 27.

Solução:

Calculando: mmc (18,27) = 54

Os múltiplos comuns de 18 e 27 serão também múltiplos do mmc entre eles. Assim, os números serão:

1 . 54 = 54

2 . 54 = 108

3 . 54 = 162

Resposta: 54, 108 e 162.

QUESTÕES PROPOSTAS:

5) Num clube, o presidente é eleito a cada 4 anos, o vice- presidente a cada 3 anos e o secretário a cada 2 anos. Se em 1981 houve eleição para os três cargos, em que ano isso ocorrerá novamente?

a) 1983 b) 1984 c) 1985 d) 1993 e) 2004 R. letra "d"

6) (CESGRANRIO-80) O mínimo múltiplo comum entre os números 2^m . 3 e 5 é 240. O expoente m é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 15 R. letra "c"

7) (TRF-94) São dados os números A= 2^x . 3³ . 5 e B = 2³ . 3² . 5^y . Se o máximo divisor comum de A e B é 2³ . 3² e o mínimo múltiplo comum é 2⁵ . 3³ . 5, então é correto afirmar que

a)x - y = 4 b)x + y = 5 c)x= 5y d)y = 5x e)x .y =5 R. letra "b"

8) (FUVEST) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes "piscam" com freqüências diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?

a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30 R. letra "a"